35o章

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经过一夜的思考，困惑程诺终于对自己的毕业论文有了新的思路。

关于两个引理的运用，程诺有他自己独到的见解。

所以，这天白天的课一结束，程诺便匆匆赶到图书馆，随便挑了一个没的位置，拿出纸笔，验证自己的想法。

既然将两个引理强加进bertrnd假设的证明过程中这个方向行不通，那程诺想的是，能否根据这两个引理，得出几个推论，然后再应用到bertrnd假设中。

这样的话，虽然拐了个弯，看似比切比雪夫的方法还要麻烦不少。但在真正的结果出来之前，谁也不敢百分百就这样说。

程诺觉得还是应该尝试一下。

工具早已备好，他沉吟了一阵，开始在稿纸上做各种尝试。

他有不是上帝，并不能很明确的知晓通过引理得出来的推论究竟哪个有用，哪个没用。最稳妥的方法，就是一一尝试。

反正时间足够，程诺并不着急。

唰唰唰

低着，他列下一行行算式。

【设m为满足pm≤2n的最大自然数，则显然对于mp;gt;m，f1oor(2n/p)-2f1oor(n/p)=o-o=o，求和止于=m，共计m项。由于f1oor(2x)-2f1oor(x)≤1，因此这m项中的每一项不是o就是1……】

由上，得推论1：【设n为一自然数，p为一素数，则能整除(2n)!/(n!n!)的p的最高幂次为：s=Σ≥1[f1oor(2n/p)-2f1oor(n/p)]。】

【因为n≥3及2n/3mp;1t;p≤n表明p2mp;gt;2n，求和只有=1一项，即：s=f1oor(2n/p)-2f1oor(n/p)。由于2n/3mp;1t;p≤n还表明1≤n/pmp;1t;3/2，因此s=f1oor(2n/p)-2f1oor(n/p)=2-2=o。】

由此，得推论2：【设n≥3为一自然数，p为一素数，s为能整除(2n)!/(n!n!)的p的最高幂次，则：()ps≤2n；(b)若pmp;gt;√2n，则s≤1；若2n/3mp;1t;p≤n，则s=o。】

一行行，一列列。

除了上课，程诺一整天都泡在图书馆里。

等到晚上十点闭馆的时候，程诺才背着书包依依不舍的离开。

而在他手中拿着的稿纸上，已经密密麻麻的列着十几个推论。

这是他劳动一天的成果。

明天程诺的工作，就是从这十几个推论中，寻找出对bertrnd假设证明工作有用的推论。

…………

一夜无话。

翌，又是阳光明媚，春暖花开的一天。

期是三月初，方教授给程诺的一个月假期还剩十多天的时间。

程诺又足够的时间去……哦，不，是去完善他的毕业论文。

论文的进度按照程诺规划的方案进行，这一天，他从推导出的十几个推论中寻找出证明bertrnd假设有重要作用的五个推论。

结束了这忙碌的一天，第二天，程诺便马不停蹄的开始正式bertrnd假设的证明。

这可不是个轻松的工作。

程诺没有多大把握能一天的时间搞定。

可一句古话说的好，一鼓作气，再而衰，三而竭。如今势正足，最好一天拿下。

这个时候，程诺不得不再次准备开启修仙**。

而修仙器，“肾宝”，程诺也早已准备完毕。

肝吧，少年！

程诺右手碳素笔，左手肾宝，开始攻克最后一道难关。

切尔雪夫在证明bertrnd假设时，采取的方案是直接进行已知定理进行硬推导，丝毫没有任何技巧可言。

程诺当然不能这么做。

对于bertrnd假设，他准备使用反证法。

这是除了直接推导证明法之外最常用的证明方法，面对许多猜想时非常重要。

尤其是……在证明某个猜想不成立时！

但程诺现在当时不是要寻找反例，证明bertrnd假设不成立。

切尔雪夫已然证明这一假设的成立，使用反证法，无非是将证明步骤进行简化。

程诺自信满满。

第一步，用反证法，假设命题不成立，即存在某个n≥2，在n与2n之间没有素数。

第二步，将(2n)!/(n!n!)的分解(2n)!/(n!n!)=nps(p)(s(p)为质因子p的幂次。

第三步，由推论5知pmp;1t;2n，由反证法假设知p≤n，再由推论3知p≤2n/3，因此(2n)!/(n!n!)=np≤2n/3ps(p)。

………………

第七步，利用推论8可得：(2n)!/(n!n!)≤np≤√2nps(p)·n√2nmp;1t;p≤2n/3p≤np≤√2nps(p)·np≤2n/3p！

思路畅通，程诺一路写下来，不见任何阻力，一个小时左右便完成一半多的证明步骤。

连程诺本，都惊讶了好一阵。

原来我现在，不知不觉间已经这么厉害了啊！！！

程诺叉腰得意一会儿。

随后，便是低继续苦的列着证明公式。

第八步，由于乘积中的第一组的被乘因子数目为√2n以内的素数数目，即不多于√2n/2-1(因偶数及1不是素数)……由此得到：(2n)!/(n!n!)mp;1t;(2n)√2n/2-1·42n/3。

第九步，(2n)!/(n!n!)是(1+1)2n展开式中最大的一项，而该展开式共有2n项(我们将末两项1合并为2)，因此(2n)!/(n!n!)≥22n/2n=4n/2n。两端取对数并进一步化简可得：√2n1n4mp;1t;31n(2n)。

下面，就是最后一步。

由于幂函数√2n随n的增长度远快于对数函数1n(2n)，因此上式对于足够大的n显然不可能成立。

至此，可说明，bertrnd假设成立。

论文的稿部分，算是正式完工。

而且完工的时间，比程诺预想的要早了整整一半时间。

这样的话，还能趁热的将毕业论文的文档版给搞出来。

搞！搞！搞！

啪啪啪

程诺手指敲击着键盘，四个多小时后，毕业论文正式完稿。

程诺又随手做了一份ppt，毕业答辩时会用到。

至于答辩的腹稿，程诺并没有准备这个东西。

反正到时候兵来将挡，水来土掩就是。

要是以哥的水平，连一个毕业答辩都过不了，那还不如直接找块豆腐撞死算了。

哦，对了，还有一件事。

程诺一拍脑袋，仿佛记起了什么。

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